{"id":885,"date":"2022-06-24T23:13:53","date_gmt":"2022-06-24T21:13:53","guid":{"rendered":"http:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/?p=885"},"modified":"2022-06-24T23:13:53","modified_gmt":"2022-06-24T21:13:53","slug":"loi-de-benford-frequence-dapparition-en-premier-chiffre-dun-nombre-des-chiffres-de-1-a-9","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/2022\/06\/24\/loi-de-benford-frequence-dapparition-en-premier-chiffre-dun-nombre-des-chiffres-de-1-a-9\/","title":{"rendered":"Loi de Benford : fr\u00e9quence d’apparition en premier chiffre d’un nombre des chiffres de 1 \u00e0 9"},"content":{"rendered":"

Exp\u00e9rimentez la loi de Benford<\/h2>\n

Ouvrez au hasard des pages de journaux, de revues, de sites d\u2019information ou de r\u00e9seaux sociaux, et relevez tous les nombres que vous y trouvez. Puis int\u00e9ressez-vous au premier chiffre significatif de chacun de ces nombres\u00a0: c\u2019est le chiffre le plus \u00e0 gauche, qui n\u2019est pas z\u00e9ro. Ne tenez compte ni du signe ni de la place de la virgule\u00a0: par exemple, le premier chiffre significatif des nombres 0,038\u00a03,14159 et -32 est 3. On peut penser a priori que chacun des chiffres de 1 \u00e0 9 sera vu avec la m\u00eame fr\u00e9quence comme premier chiffre significatif. Pourtant, si vous relevez beaucoup de nombres d\u2019origines vari\u00e9es, vous constaterez que le chiffre 1 appara\u00eet au d\u00e9but de pr\u00e8s d\u2019un tiers des nombres, le chiffre 2 environ une fois sur 6, et que les fr\u00e9quences diminuent jusqu\u2019au chiffre 9 (moins d\u2019une fois sur 20).<\/p>\n

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Fr\u00e9quences th\u00e9oriques des premiers chiffres significatifs selon la loi de Benford.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

Cette distribution du premier chiffre significatif est aujourd\u2019hui connue sous le nom de\u00a0<\/span>\u00ab\u00a0Loi de Benford\u00a0\u00bb<\/a>, d\u2019apr\u00e8s l\u2019ing\u00e9nieur am\u00e9ricain qui l\u2019a v\u00e9rifi\u00e9e en 1938, en r\u00e9pertoriant plus de 20\u00a0000 nombres provenant de multiples sources (longueurs de fleuves, cours de la bourse, r\u00e9sultats de base-ball, poids des \u00e9l\u00e9ments chimiques, etc.).<\/p>\n

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Frank Benford propose m\u00eame une formule pr\u00e9cise pour d\u00e9crire avec quelle distribution apparaissent les chiffres de 1 \u00e0 9 comme premier chiffre significatif\u00a0: la fr\u00e9quence du chiffre\u00a0i (i variant entre 1 et 9) est donn\u00e9e par le logarithme \u00e0 base\u00a010 de (1+i)\/i. Par exemple lorsque i est le chiffre\u00a02, vous pouvez v\u00e9rifier sur une calculatrice que la fr\u00e9quence donn\u00e9e par la formule de Benford vaut\u00a0:<\/p>\n

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Formule donnant la fr\u00e9quence du chiffre 2 en tant que premier chiffre significatif.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

Une d\u00e9couverte gr\u00e2ce \u00e0 l\u2019absence de calculatrice<\/h2>\n

La fonction logarithme qui appara\u00eet dans la formule ci-dessus a jou\u00e9 un grand r\u00f4le dans la d\u00e9couverte de cette \u00e9trange loi. Le logarithme \u00e9tait tr\u00e8s utilis\u00e9 avant l\u2019av\u00e8nement de l\u2019ordinateur pour sa facult\u00e9 \u00e0 transformer les multiplications et divisions, op\u00e9rations tr\u00e8s compliqu\u00e9es \u00e0 effectuer \u00e0 la main, en additions et soustractions (un peu plus simples\u00a0!). Pour effectuer des calculs, on avait donc couramment recours \u00e0 des tables de logarithmes, petits livres qui donnaient les logarithmes des nombres que l\u2019on voulait multiplier.<\/p>\n

Ainsi, pour calculer rapidement le quotient 12\u00a0345 \u00f7 6\u00a0789, on commen\u00e7ait par consulter la table pour obtenir les logarithmes de 12\u00a0345 et 6\u00a0789, qui valent respectivement 4,0915 et 3,8318. On calculait \u00e0 la main la diff\u00e9rence entre ces deux nombres, qui donne 0,2597, puis en utilisant dans l\u2019autre sens la table de logarithmes, on trouvait le quotient, qui est le nombre dont le logarithme est \u00e9gal \u00e0 cette diff\u00e9rence, soit environ 1,818.<\/p>\n

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\"\"<\/div>
calcul d\u2019un quotient en utilisant les tables de logarithmes.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

C\u2019est l\u2019astronome am\u00e9ricain Simon Newcomb qui a remarqu\u00e9 que les premi\u00e8res pages de ces tables de logarithmes \u00e9taient plus rapidement us\u00e9es que les derni\u00e8res, pour la raison que l\u2019on utilisait plus souvent des nombres commen\u00e7ant par un 1 que par un 9. Newcomb publia le\u00a0<\/span>premier article<\/a>\u00a0<\/span>sur cette surprenante distribution des premiers chiffres d\u00e8s 1881, mais son travail est \u00e0 l\u2019\u00e9poque pass\u00e9 inaper\u00e7u.<\/p>\n

Pr\u00e8s de 50\u00a0ans plus tard, en observant \u00e0 nouveau l\u2019usure irr\u00e9guli\u00e8re des tables de logarithmes, Benford refit la m\u00eame d\u00e9couverte.<\/p>\n

Plus les donn\u00e9es sont vari\u00e9es, mieux \u00e7a marche<\/h2>\n

La distribution pr\u00e9dite par la loi de Benford se v\u00e9rifie exp\u00e9rimentalement sur toute s\u00e9rie de donn\u00e9es issues du monde r\u00e9el, pourvu que cette s\u00e9rie soit assez \u00ab\u00a0riche\u00a0\u00bb (nombres d\u2019origines vari\u00e9es et\/ou r\u00e9parties sur plusieurs ordres de grandeur).<\/p>\n

En effet on comprend bien que, si par exemple on ne consid\u00e8re que des tailles d\u2019individus exprim\u00e9es en centim\u00e8tres, le premier chiffre significatif sera presque tout le temps le 1 et donc la loi de Benford ne sera pas satisfaite. En revanche, la s\u00e9rie constitu\u00e9e des nombres d\u2019habitants par commune sur un territoire assez grand\u00a0<\/span>se conforme plut\u00f4t bien \u00e0 la loi de Benford<\/a>, car la taille des villes peut varier de quelques centaines \u00e0 plusieurs millions d\u2019habitants.<\/p>\n

Ainsi, le graphique ci-dessous illustre les r\u00e9sultats obtenus en \u00e9tudiant le premier chiffre significatif des\u00a0<\/span>nombres d\u2019habitants des communes de la r\u00e9gion Normandie<\/a>. Globalement, on retrouve bien l\u2019allure du diagramme en barres pr\u00e9vu par la loi de Benford.<\/p>\n

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Diagramme en barres du premier chiffre significatif des nombres d\u2019habitants des communes normandes (Insee 2019).<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

Pourquoi plus de 1\u00a0?<\/h2>\n

On peut se demander pourquoi le\u00a01 et le\u00a02 sont plus souvent utilis\u00e9s comme premier chiffre significatif que le 8 ou le 9. Apr\u00e8s tout, il y a autant de nombres dans l\u2019intervalle [9\u00a0000, 10\u00a0000) (donnant un\u00a09 comme premier chiffre) que dans l\u2019intervalle [1\u00a0000, 2\u00a0000), qui vont donner un\u00a01.<\/p>\n

Mais l\u2019erreur bien naturelle que l\u2019on commet en comparant ainsi les tailles de ces deux intervalles consiste \u00e0 les mesurer de mani\u00e8re additive\u00a0: dans les deux cas, il faut ajouter 1\u00a0000 \u00e0 la borne inf\u00e9rieure pour obtenir la borne sup\u00e9rieure. Or, comme le montre tr\u00e8s bien Micka\u00ebl Launay dans\u00a0<\/span>son livre<\/a>\u00a0<\/span>ce raisonnement \u00ab\u00a0additif\u00a0\u00bb n\u2019est pas pertinent\u00a0: quand on compare des nombres de la vie r\u00e9elle, on le fait plut\u00f4t multiplicativement. La taille \u00ab\u00a0multiplicative\u00a0\u00bb du premier intervalle vaut 10\u00a0000 \u00f7 9\u00a0000 soit environ 1,11, elle est beaucoup plus petite que celle du second, qui vaut 2\u00a0000 \u00f7 1\u00a0000, soit 2.<\/p>\n

Voici une situation tr\u00e8s concr\u00e8te pour montrer en quoi ce point de vue multiplicatif est beaucoup mieux adapt\u00e9. Int\u00e9ressons-nous aux prix de biens de consommation courante, et disons pour simplifier que ces prix suivent tous une m\u00eame inflation lente et r\u00e9guli\u00e8re. Prenons un prix dont le premier chiffre significatif est 1, disons la baguette de pain \u00e0 1 euro. Son premier chiffre significatif va rester 1 tant que le prix de la baguette n\u2019aura pas atteint 2 euros, soit pendant tout le temps n\u00e9cessaire pour obtenir une augmentation des prix de 100\u00a0%. Consid\u00e9rons en parall\u00e8le le prix d\u2019un litre d\u2019huile d\u2019olive \u00e0 9 euros\u00a0: son premier chiffre significatif restera 9 seulement le temps que l\u2019inflation le fasse monter \u00e0 10 euros (augmentation de seulement 11\u00a0%).<\/p>\n

En pensant ainsi multiplicativement, la distribution pr\u00e9dite par la loi de Benford devient beaucoup plus naturelle. Les intervalles [1,2), [2,4), [3,6), [4,8) et [5,10) ont la m\u00eame taille multiplicative\u00a02. Les sommes des fr\u00e9quences des premiers chiffres significatifs vus dans chacun de ces intervalles sont alors \u00e9gales\u00a0:<\/p>\n

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Sommes des fr\u00e9quences des premiers chiffres significatifs pr\u00e9vues par la loi de Benford sur des intervalles de taille multiplicative 2.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

Cette vision multiplicative se retrouve dans un autre argument couramment avanc\u00e9 pour expliquer la loi de Benford\u00a0: la distribution du premier chiffre significatif doit \u00eatre la m\u00eame en France, o\u00f9 l\u2019on mesure les distances en kilom\u00e8tres et les prix en euros, qu\u2019aux \u00c9tats-Unis o\u00f9 l\u2019on utilise les miles et les dollars. Autrement dit elle ne doit pas d\u00e9pendre du choix des unit\u00e9s utilis\u00e9es pour mesurer les grandeurs. Ainsi les fr\u00e9quences des premiers chiffres significatifs ne doivent pas changer si l\u2019on multiplie toutes les donn\u00e9es par un m\u00eame nombre (ce qui correspond \u00e0 un changement d\u2019unit\u00e9). Or la loi de Benford est la\u00a0<\/span>seule distribution<\/a>\u00a0<\/span>qui satisfait cette invariance.<\/p>\n

Un d\u00e9tecteur de fraude<\/h2>\n

La loi de Benford peut sembler n\u2019\u00eatre qu\u2019une curiosit\u00e9 anecdotique. Cependant, au d\u00e9but des ann\u00e9es\u00a090, l\u2019\u00e9conomiste\u00a0<\/span>Mark Nigrini<\/a>\u00a0<\/span>lui trouva une application tr\u00e8s concr\u00e8te\u00a0: il eut l\u2019id\u00e9e de l\u2019utiliser pour la d\u00e9tection de fraudes dans des donn\u00e9es, et y a m\u00eame consacr\u00e9 un\u00a0<\/span>ouvrage en 2012<\/a>.<\/p>\n

En effet, si une s\u00e9rie de nombres vari\u00e9s provenant de donn\u00e9es r\u00e9elles suit th\u00e9oriquement la distribution pr\u00e9dite par Benford, Nigrini montre que dans des donn\u00e9es comptables falsifi\u00e9es, la fr\u00e9quence de nombres commen\u00e7ant par 5 ou 6 est largement plus \u00e9lev\u00e9e\u00a0: la plupart des faussaires ignorent la loi de Benford\u00a0! Des experts-comptables peuvent ainsi mettre en \u00e9vidence les fraudes des soci\u00e9t\u00e9s. Il semble courant aujourd\u2019hui de se baser sur la loi de Benford (incluant des tests plus approfondis consid\u00e9rant \u00e9galement le second chiffre significatif des nombres) pour suspecter une fraude dans des donn\u00e9es, qu\u2019elles soient fiscales, comptables, \u00e9lectorales ou m\u00eame scientifiques. Bien qu\u2019un \u00e9cart \u00e0 la loi de Benford ne constitue pas une preuve de fraude, il peut orienter les experts vers des v\u00e9rifications plus pouss\u00e9es.<\/p>\n\n<\/colgroup>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Chiffre<\/td>\nFr\u00e9quence<\/td>\n<\/tr>\n
1<\/td>\n30,10 %<\/td>\n<\/tr>\n
2<\/td>\n17,61 %<\/td>\n<\/tr>\n
3<\/td>\n12,49 %<\/td>\n<\/tr>\n
4<\/td>\n9,69 %<\/td>\n<\/tr>\n
5<\/td>\n7,92 %<\/td>\n<\/tr>\n
6<\/td>\n6,69 %<\/td>\n<\/tr>\n
7<\/td>\n5,80 %<\/td>\n<\/tr>\n
8<\/td>\n5,12 %<\/td>\n<\/tr>\n
9<\/td>\n4,58 %<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Source\u00a0<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Exp\u00e9rimentez la loi de Benford Ouvrez au hasard des pages de journaux, de revues, de sites d\u2019information ou de r\u00e9seaux sociaux, et relevez tous les nombres que vous y trouvez. Puis int\u00e9ressez-vous au premier chiffre significatif de chacun de ces nombres\u00a0: c\u2019est le chiffre le plus \u00e0 gauche, qui n\u2019est pas z\u00e9ro. Ne tenez compte … <\/p>\n

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