{"id":783,"date":"2020-04-21T13:20:23","date_gmt":"2020-04-21T11:20:23","guid":{"rendered":"http:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/?p=783"},"modified":"2020-04-21T13:20:23","modified_gmt":"2020-04-21T11:20:23","slug":"article-du-professeur-etienne-pardoux-comprendre-les-bases-des-modeles-mathematiques-des-epidemies","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/2020\/04\/21\/article-du-professeur-etienne-pardoux-comprendre-les-bases-des-modeles-mathematiques-des-epidemies\/","title":{"rendered":"Article du professeur Etienne Pardoux : Comprendre les bases des mod\u00e8les math\u00e9matiques des \u00e9pid\u00e9mies"},"content":{"rendered":"<p>Pour comprendre rapidement le sujet, je me suis fait\u00a0un r\u00e9sum\u00e9 de l&rsquo;article du professeur <a href=\"https:\/\/theconversation.com\/profiles\/etienne-pardoux-1034231\">Etienne Pardou<\/a>x de l&rsquo;universit\u00e9 d&rsquo;Aix-Marseille, en reprenant des paragraphes et en en adaptant d&rsquo;autres,\u00a0vous pouvez retrouver l&rsquo;article utilis\u00e9, en version originale\u00a0<a href=\"https:\/\/theconversation.com\/comprendre-les-bases-des-modeles-mathematiques-des-epidemies-136056?utm_medium=email&amp;utm_campaign=La%20lettre%20de%20The%20Conversation%20France%20du%2021%20avril%202020&amp;utm_content=La%20lettre%20de%20The%20Conversation%20France%20du%2021%20avril%202020+CID_f1ab8118f8ea06b9349d908adf377aa9&amp;utm_source=campaign_monitor_fr&amp;utm_term=nous%20explique%20les%20bases%20des%20modles%20mathmatiques%20des%20pidmies\">ici<\/a><\/p>\n<p>Ou en plus complet encore <a href=\"https:\/\/briques2math.home.blog\/2020\/04\/21\/etienne-pardoux-modeles-mathematiques-des-epidemies\/\">ici<\/a><\/p>\n<h2>Un mod\u00e8le simple pour cerner la situation<\/h2>\n<p>\u00ab\u00a0Le mod\u00e8le de <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Reed%E2%80%93Frost_model\"><strong>Reed-Frost<\/strong><\/a> est un des plus vieux mod\u00e8les math\u00e9matiques des \u00e9pid\u00e9mies, il date de 1929. Il est tr\u00e8s simpliste, mais il permet d\u2019introduire des notions essentielles et d\u2019obtenir une formule math\u00e9matique importante.\u00a0\u00bb<\/p>\n<p>Le param\u00e8tre au centre de cet article est\u00a0<em>R<sub>0 <\/sub><\/em>\u00a0 (Nombre de reproduction de base) c&rsquo;est le nombre moyen de susceptibles qu\u2019un infect\u00e9 infecte au d\u00e9but de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie, c\u2019est-\u00e0-dire dire \u00ab\u00a0lorsque presque toute la population <strong>n<\/strong> est susceptible\u00a0\u00bb.<br \/>\n<strong><em>R<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0=\u00a0<em>n<\/em>\u00a0\u00d7\u00a0<em>p <\/em><\/strong><em>(p probabilit\u00e9 d&rsquo;infection)<\/em><\/p>\n<p>Les individus sont de trois types\u00a0:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>S<\/strong> comme susceptible (d\u2019\u00eatre infect\u00e9),<\/li>\n<li><strong>I<\/strong> comme infect\u00e9 et infectieux (capable d\u2019infecter un <strong>S<\/strong>),<\/li>\n<li><strong>R<\/strong> comme remis ou retir\u00e9 (soit gu\u00e9ri, soit mort).<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u00ab\u00a0Dans ce mod\u00e8le, dit \u00ab\u00a0SIR\u00a0\u00bb, le temps est discret (on progresse semaine par semaine, par exemple)\u00a0; la population est suppos\u00e9e grande, sa taille est\u00a0<em>n<\/em>. Au d\u00e9but, il y a\u00a0<em>n<\/em>-1\u00a0individus de type S, 1\u00a0individu de type I et 0 de type R. Un individu qui est infect\u00e9 une semaine donn\u00e9e infectera chaque S avec la probabilit\u00e9\u00a0<em>p<\/em>\u00a0la semaine suivante, puis gu\u00e9rira (devenant R). L\u2019\u00e9pid\u00e9mie se poursuit tant qu\u2019il y a des infect\u00e9s (que I n\u2019est pas nul), puis elle s\u2019arr\u00eate.<\/p>\n<p>Deux remarques\u00a0: on n\u00e9glige pour simplifier la phase d\u2019incubation\u00a0; on suppose qu\u2019un individu de type R, s\u2019il n\u2019est pas mort (ce qui heureusement\u00a0<a href=\"https:\/\/dashboard.covid19.data.gouv.fr\/\">est le cas de l\u2019immense majorit\u00e9 des R<\/a>), est immunis\u00e9 \u2013 en r\u00e9alit\u00e9, \u00e0 ce stade, on ne sait pas encore beaucoup de choses sur l\u2019immunit\u00e9 au Covid-19.\u00a0\u00bb<\/p>\n<p>Dans le mod\u00e8le de Reed\u2013Frost, combien vaut\u00a0<em>R<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0? Donnons des valeurs \u00e0 nos deux param\u00e8tres. Supposons que\u00a0<em>n<\/em>\u00a0= 1\u00a0000, et que\u00a0<em>p<\/em>\u00a0= 0,0025 (soit 0,25\u00a0%). Le premier infect\u00e9 a autour de lui\u00a0<em>n<\/em>-1 \u2243\u00a0<em>n<\/em>\u00a0= 1\u00a0000\u00a0individus susceptibles. Puisqu\u2019il infecte chacun d\u2019eux avec la probabilit\u00e9 p, ce nombre moyen vaut ici\u00a0<em>R<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0=\u00a0<em>n<\/em>\u00a0\u00d7\u00a0<em>p<\/em>\u00a0= 2,5.<\/p>\n<p>Si\u00a0<em>R<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0&lt; 1, il n\u2019y aura pas d\u2019\u00e9pid\u00e9mie majeure avec un petit nombre d\u2019infect\u00e9s initiaux, de m\u00eame si\u00a0<em>R<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0= 1. Par contre si\u00a0<em>R<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0&gt; 1, un seul infect\u00e9 initial peut d\u00e9clencher une \u00e9pid\u00e9mie majeure, qui touche une fraction importante de la population.<\/p>\n<p>Lorsqu\u2019une fraction de la population est immunis\u00e9e, dans le mod\u00e8le de Reed-Frost, pour savoir combien de susceptibles un infect\u00e9 infecte en moyenne, il faut multiplier\u00a0<strong><em>p<\/em>\u00a0<\/strong>par le nombre\u00a0<strong><em>S<\/em>\u00a0<\/strong>de susceptibles restant, et bien avant que ce nombre ne s\u2019annule, le produit\u00a0<strong><em>p<\/em>\u00a0\u00d7\u00a0<em>S<\/em><\/strong>\u00a0passe en dessous de 1, et alors l\u2019\u00e9pid\u00e9mie s\u2019arr\u00eate.<\/p>\n<p>Soit <em>\u03c4<\/em>\u00a0 la fraction de la population touch\u00e9 par l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie :<strong>\u00a01-<em>\u03c4<\/em>\u00a0= e<sup>&#8211;<em>R<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0\u00d7\u00a0<em>\u03c4<\/em><\/sup>.<\/strong><br \/>\n<em>R<sub>0<\/sub><\/em>=2,\u00a0<em>\u03c4<\/em>=79\u00a0%\u00a0; pour\u00a0<em>R<sub>0<\/sub><\/em>=3,\u00a0<em>\u03c4<\/em>=94\u00a0%\u00a0; pour\u00a0<em>R<sub>0<\/sub><\/em>=4,\u00a0<em>\u03c4<\/em>=98\u00a0%\u00a0; et pour\u00a0<em>R<sub>0<\/sub><\/em>=5,\u00a0<em>\u03c4<\/em>=99\u00a0%.<\/p>\n<p><em>Nous avons aussi : <strong>R<sub>0<\/sub><\/strong><\/em><strong>\u00a0=\u00a0<em>p<\/em>\u00a0\u00d7\u00a0<em>c<\/em>\u00a0\u00d7\u00a0<em>l<\/em><\/strong>, o\u00f9<\/p>\n<ul>\n<li><strong><em>p<\/em><\/strong>\u00a0est la probabilit\u00e9 de transmission \u00e0 chaque \u00ab\u00a0contact\u00a0\u00bb,<\/li>\n<li><strong><em>c<\/em>\u00a0<\/strong>est le nombre de \u00ab\u00a0contacts\u00a0\u00bb par jour et<\/li>\n<li>\u00a0<strong><em>l<\/em>\u00a0<\/strong>est la dur\u00e9e de la p\u00e9riode d\u2019infection.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Alors, les mesures de pr\u00e9vention visent \u00e0 r\u00e9duire\u00a0<em>R<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0en r\u00e9duisant\u00a0:<\/p>\n<ul>\n<li>la probabilit\u00e9 de transmission \u00e0 chaque \u00ab\u00a0contact\u00a0\u00bb\u00a0<em>p<\/em>\u00a0: masques, lavage des mains\u00a0;<\/li>\n<li>le nombre de \u00ab\u00a0contacts\u00a0\u00bb par jour\u00a0<em>c<\/em>\u00a0: confinement, \u00e9viter les transports publics et les grands rassemblements\u00a0;<\/li>\n<li>la dur\u00e9e de la p\u00e9riode d\u2019infection\u00a0<em>l<\/em>\u00a0: diagnostic rapide, isolation des infect\u00e9s, traitement efficace (si disponible).<\/li>\n<\/ul>\n<h6>Covid-19<\/h6>\n<p>Certaines estimations tournent autour de 2,5, d\u2019autres donnent des valeurs plus importantes, entre 3 et 5\u00a0! Il est probable que\u00a0<em>R<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0ne prend pas la m\u00eame valeur dans des zones peu peupl\u00e9es, et en r\u00e9gion parisienne par exemple o\u00f9 beaucoup de gens se pressent dans les transports en commun. Si le gouvernement n\u2019avait pas pris de mesures fortes, on peut penser qu\u2019entre 60 et 80\u00a0% de la population aurait \u00e9t\u00e9 touch\u00e9e.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Pour comprendre rapidement le sujet, je me suis fait\u00a0un r\u00e9sum\u00e9 de l&rsquo;article du professeur Etienne Pardoux de l&rsquo;universit\u00e9 d&rsquo;Aix-Marseille, en reprenant des paragraphes et en en adaptant d&rsquo;autres,\u00a0vous pouvez retrouver l&rsquo;article utilis\u00e9, en version originale\u00a0ici Ou en plus complet encore ici Un mod\u00e8le simple pour cerner la situation \u00ab\u00a0Le mod\u00e8le de Reed-Frost est un des &hellip; <\/p>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/2020\/04\/21\/article-du-professeur-etienne-pardoux-comprendre-les-bases-des-modeles-mathematiques-des-epidemies\/\" class=\"more-link\">Continuer la lecture<span class=\"screen-reader-text\"> de &laquo;&nbsp;Article du professeur Etienne Pardoux : Comprendre les bases des mod\u00e8les math\u00e9matiques des \u00e9pid\u00e9mies&nbsp;&raquo;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[16],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/783"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=783"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/783\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":784,"href":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/783\/revisions\/784"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=783"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=783"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.igatamus.com\/bgc\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=783"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}